Cours en algorithme

Les  éléments de base d’un algorithme    

1) Introduction   
Dans la vie courante, un algorithme peut prendre la forme d’une recette de cuisine ou bien une résolution d’exercice.
 Une recette de cuisine par exemple, est un algorithme, à partir  des ingrédients, elle explique comment parvenir  au plat, de même, une résolution d’exercice explique comment à partir des données, on obtient d’une solution finale  en un certain nombre d’étapes.

Exemple1 :  Préparer la pâte à  tarte    

Les ingrédients  ( 250 g de farine , 50 g de beurre  , 1 verre de lait  )

==> Les actions élémentaires à  réaliser

Début

1. Incorporer le beurre dans la farine  
2. Pétrir le mélange jusqu’à ce qu’il soit homogène
3. Ajouter du lait
4. Mélanger
5. Si la pâte est trop sèche, alors ajouter du lait, puis mélanger
6. la reposer une demi-heure 
7. Passez au four pendant 25min

Fin

Exemple2:  Résolution d’une équation de 2éme degré

==> Les actions élémentaires à  réaliser

Début

1. Calculer delta
2. Si delta égale 0, alors il existe une seule solution
3. Si delta strictement positif, alors il existe deux solutions
4. Si delta strictement négatif, alors n’a pas de solution

Fin

Un Algorithmique  est une suite des étapes à suivre pour réaliser un travail.
   Définition d’un algorithme
Le mot « algorithme » provient de la forme latine (Algorismus) du nom du mathématicien arabe AL KHAWARIZMI. Ce dernier formula une première  définition  « un algorithme est une séquence d’opérations visant à la résolution d’un problème en un temps fini »
Nous pouvons adopter la définition suivante : Description de la méthode de résolution d’un problème quelconque  en utilisant  des instructions élémentaires. Ces instructions  deviennent compréhensibles par l’ordinateur lors de la traduction de l’algorithme en un programme.
  Algorithme   et  Programmation
Tout problème à programmer doit être résolu d’abord sous forme  d’algorithme, puis converti en programme dans le langage de votre choix. En effet, un algorithme est indépendant du langage de programmation utilisé. 
Un programme est une suite d’instructions, écrit dans un langage de programmation, exécutées par ordinateur, permettant de traiter un problème et de renvoyer des résultats. Il représente la traduction d’un algorithme à l’aide d’un langage de programmation.
Le cycle de développement d’un programme (ou d’une application)  informatique peut  se résumer comme ça :

Parmi les langages de programmations, on peut citer : Pascal, C, C++, JAVA, Python, C≠ ……

2)  Structure générale d’un algorithme
Un algorithme est composé de trois principale:

1. L’en tête : cette partie sert à donner un nom à l’algorithme. Elle est précédée par le mot Algorithme.
2. La partie déclarative : dans cette partie, on déclare les différents objets que l’algorithme utilise (Variables, constantes, etc).
3. Le corps de l’algorithme : cette partie  contient les instructions de l’algorithme. Elle est délimitée par les mots début et Fin. 

Entête	Algorithme   Nom_Algorithme
partie déclarative	Variable        Nom : type Constante      Nom=valeur
corps de l’algorithme	Début    Instruction 1    Instruction 2     ………………..     …………….….    Instruction n Fin

  3)  Les variables et les constantes
  3-1) Notion de variable  
Les données  ainsi que les résultats des calculs intermédiaires ou finaux, sont rangés dans des cases mémoires qui correspondent à des variables, Ainsi, une variable  est rangée dans un emplacement mémoire nommé, de taille fixe (ou non) prenant au cours du déroulement de l’algorithme, un nombre indéfini de valeurs différentes.
                                                                                                                               

  3-2) déclaration des variables
La partie déclaration consiste à énumérer toutes les variables dont on aura besoin  au cours de l’algorithme. Chaque déclaration doit comporter le nom de variable (identificateur) et son type.
      Syntaxe :       Variable  identificateur : type

 Identificateur : Un identificateur est le nom donné à une variable, une fonction, etc. Ce nome doit obligatoirement commencer par une lettre suivie d’une suite de  lettres et les chiffres et il ne doit pas contenir d’espace.
Types de donnée

1. Type entier: sert à manipuler les nombres entiers positifs ou négatifs. Par exemple : 5, 20, -12
2. Type réel:  sert à manipuler les nombres à virgule. Par exemple : 5, 2.1,    -1.2 …
3. Type  caractère  sert à manipuler des caractères alphabétiques  et numériques. Par exemple :  "a",  "B " , "6"   …
4. Type  chaîne:  sert à manipuler des chaines de caractères  permettant de représenter des mot ou des phrases  comme :   "bonjour",   "Cours_5"    …
5. Type booléen  utilise les expressions logiques. Il  n’y a que deux valeurs booléennes : Vrai et  faux

Exemple:   

  Variables   a, b : entiers      

                        c : réel      

                   nom : chaine_caractères           

                absent : booléen 

Les opérations sur des variables:
   

      
3-3) Les constantes   
Comme une variable, il existe une  constante  correspond un emplacement mémoire  réservé auquel on accède par le nom qui lui a été attribué, mais dont la valeur stockée ne sera jamais modifiée au cours du programme.

 Syntaxe :  

  Constante  Nom_Constante = valeur
      
   Exemple :    Constante  Pi = 3.14 

  

4) Les instructions de base                                                                                 
Une instruction est une  action élémentaire commandant à la machine un calcul, ou une communication avec l’un de ses périphériques d’entrées  ou de sorties. Les instructions de base sont :
4-1) L’instruction d’affectation :   
 L’affectation permet d’affecter une valeur à une variable. Elle est symbolisée en algorithmique par « ← »
 Syntaxe :         Variable  ← Expression 

Exemple :  Var ← 8   ;     Var1 ← Var2  ;     A ← B +2

                                                                                                                                                              

                                     
 
                             

4-2) L’instruction d’entrée :
 L’instruction d’entrée ou de lecture donne la main à l’utilisateur pour saisir une donnée au clavier. La valeur saisie sera affectée à une variable 
Syntaxe :    Lire (identificateur)

Exemples :    Lire (A)    ou      Lire (A, B, C)

L’instruction  Lire(A)    permet  à l’utilisateur de saisir une valeur à clavier. Cette valeur sera affectée à la variable A.
4-3) L’instruction de sortie :   
Avant de lire une variable, il est conseillé d’écrire un message à l’écran, afin de prévenir l’utilisateur de ce qu’il doit taper. 
L’instruction de sortie (d’écriture) permet d’afficher des informations  à l’écran.
Syntaxe :     Ecrire (expression)

Exemple :   Ecrire ("Donner votre âge : ")

Ecrire (A)  cette instruction permet d’afficher à l’écran la valeur de  variable A.

4-3) Les commentaires : 

Lorsqu'un algorithme devint long, il est conseillé d’ajouter des lignes de commentaires dans  l’algorithme, c’est-à-dire des lignes qui ont pour but de donner des indications sur les instructions effectuées et d’expliquer le fonctionnement d’algorithme (programme) sans que le compilateur ne les prenne en compte.

On va voir  deux types de commentaires

// Commentaire sur une ligne

/*  Commentaire sur plusieurs lignes   */

Remarque :

Parfois on utilise les commentaires pour annuler l’action de quelques instructions dans un algorithme ou un programme au lieu de les effacer  comme dans cet exemple :

Variable i: entier

// Variable j: réel

==> Voir plus d'exercices 

      Chapitre 2 : Les  structures alternatives et répétitives

1) Les structures alternatives 

1-1) Introduction :

Contrairement  au traitement séquentiel, la structure alternative ou conditionnelle permet d’exécuter ou non une série d’instructions selon la valeur d’une condition.

1-2)  La structure    Si alors ………  sinon  …… fin si   ou    Si alors ………  fin si

                                                                                                                                 

Une condition est une expression  logique  ou une variable logique évaluée à  Vrai ou faux. La condition est évaluée. Si  elle est vraie, la série d’instruction(s)1 est exécutée et l’ensemble d’instruction(s) 2 est ignoré, la machine sautera directement à la première instruction située après  Fin si.

De  même, au cas où la condition  était fausse la machine saute directement à la première ligne située après le  Sinon et exécute l’ensemble d’instruction2.

Exercice d’application 1

Écrire un algorithme  qui affiche si un nombre entier  saisi au clavier est pair ou impair 

Remarque : il existe aussi un autre type de condition c’est la condition composées.

Certains problèmes exigent  de formuler des conditions qui ne peuvent être exprimées sous la forme simple, par exemple la condition  de  note  de devoir doit être inclus dans  l’intervalle [0, 20],  cette  condition est composée de deux conditions simples qui  sont   note ≥ 0    et   note ≤ 20

Exercice d’application 2

Ecrire  un algorithme qui teste une note saisi au clavier est comprise entre 0 et 20.

Exercice 1:
Ecrire un algorithme qui demande deux nombres m et n à  l’utilisateur et l’informe ensuite si le produit  de ces deux nombres est positif ou négatif. On inclut   dans l’algorithme le cas  où le produit peut être nul.

Exercice 2:
Une boutique propose à ces clients, une réduction de 15% pour les montants d’achat supérieurs à 200 dh. Ecrire un algorithme permettant de saisir le prix total HT et de calculer le montant TTC  en prenant en compte la réduction et la TVA=20% .

==> Voir plus d'exercices 

1-3)  Structure à choix multiples

Cette  structure conditionnelle permet de choisir le traitement à effectuer en fonction  de la valeur ou de l’intervalle de valeurs d’une variable o d’une expression.

Syntaxe :   

  

Lorsque l’ordinateur rencontre cette instruction, il vérifie la valeur de la variable de sélection (sélecteur) et il la compare aux différentes valeurs. 

Les valeurs sont évaluées  dans l’ordre, les unes après les autres, et une fois la valeur de sélecteur est vérifiée l’action associée  est exécutée. On peut utiliser une instruction Sinon  (facultative), dont l’action sera exécutée si aucune des valeurs évaluées n’a pas été remplie
 

Exercice :

Ecrire un algorithme permettant d’afficher le mois en lettre selon le  numéro saisi  au clavier.

2) Les Structures  répétitives  
2-1) Introduction
Prenons d’une saisie au clavier, par exemple, on pose une question à laquelle doit répondre par « oui » ou « non ». 
L’utilisateur risque de taper autre chose (une autre lettre), le programme peut soit planter par une erreur d’exécution soit dérouler normalement jusqu’au bout, mais en produisant des résultats fantaisistes.
Pour éviter ce problème, on peut mettre en place un contrôle de saisie pour vérifier que les données entrées au clavier correspondent bien à celles attendues par l’algorithme.
 

!!! L’algorithme ci-dessus résout le problème si on se trompe qu’une  seule fois, et on fait entrer une valeur correcte à la deuxième demande. Sinon en cas de deuxième  erreur, il faudrait rajouter un  «  SI  ». Et ainsi de suite, on peut rajouter des  centaines  de  «  SI  »       
==> La solution à ce problème consiste à utiliser une structure répétitive.  

Une structure répétitive, encore appelée boucle, est utilisée quand une instruction ou une liste d’instruction, doit être répétée plusieurs fois. La répétition est soumise à une condition
 2-2) La boucle Tant Que …. Faire  
La boucle Tant que permet de répéter un traitement tant que la condition est vraie.
Syntaxe :

                                                                                                                         

==> L’exécution de la boule dépend de la valeur de la condition. Si est vrai, l’algorithme exécute les instructions qui suivent, jusqu’à ce qu’il  rencontre la ligne FinTantque .Il retourne ensuite sur la ligne du Tantque, procède au même examen, et ainsi de suite. 
==> La boucle ne s’arrête que lorsque prend la valeur fausse, et dans ce cas le programme  poursuit son exécution après  FinTantQue.
Exemple:

Remarque :
Si la  structure   TantQue  contient la condition ne devient jamais fausse. Le programme tourne dans une boucle infinie et n’en sort plus.

Exemple :   

     

Dans cet exemple nous avons  une boucle infinie. L’ordinateur ne s’arrêtera jamais d’afficher le message Bonsoir  car la variable i qui est testée dans la condition n’est jamais incrémenter. Alors pour  résoudre  le problème de boucle infinie dans ce cas-là, on incrémente la variable i  à  chaque tour de boucle  pour afficher   Bonsoir  10 fois exactement.  

Exercice1
Ecrire un algorithme qui calcule la somme  S = 1+2+3+4+……..+ 10

Exercice2  
Ecrire un algorithme qui calcule la somme   S= 1+2+3+4+……..+ N,  où N saisi par l’utilisateur. 

2-3)  La boucle  Pour …. Faire
La boucle  pour …. Faire  permet de répéter une liste d’instructions un nombre connu de fois. 

Syntaxe :

==> La variable compteur  est de type entier. Elle est initialisée par la valeur initiale, le compteur augmente sa valeur de 1 automatiquement à  chaque tour de boucle  jusqu’à la valeur finale.

==> Lorsque la variable compteur vaut la valeur finale, le traitement est exécuté une seule fois puis le programme sort de la boucle. 

Exemple:

Ecrire un algorithme qui affiche  Bonjour 10 fois.

Exercice1  
Ecrire un algorithme qui calcule S= 1+2+3+4+……..+ 10. Utilisant la boucle pour.

Exercice2
Ecrire un algorithme qui calcule  S= 1+2+3+4+……..+ N. Utilisant la boucle pour.

                                                                                                    

Exercice 3 
Ecrire un algorithme qui affiche la table de multiplication de 5. Utilisant la boucle pour.

Exercice 4
Ecrire un algorithme qui affiche la table de multiplication d’un  entier saisie par l’utilisateur, Utilisant la boucle pour.

2-4) La  boucle  Répéter…jusqu’à                                                                                    
Cette boucle permet de répéter une instruction  jusqu’à ce qu’une soit vrai. 
Remarque : Cette boucle ne s’utilise en général que pour des menus, elle est dangereuse car il n’y a pas de vérification de la condition avant  d’y entrer.

Syntaxe :

   

==> La liste d’instructions est exécutée, puis la condition est évaluée. Si elle est fausse, le corps de la boucle est exécuté à nouveau puis la condition est réévaluée et si elle est  vraie, le programme sort de la boucle et exécute l’instruction qui suit Jusqu’à.
 Exemple:
En utilisant  la boucle Répéter…..jusqu’à, on écrit  un algorithme qui affiche Bonjour  10  fois.

Exercice1
Ecrire un algorithme qui calcule la somme  S= 1+2+3+…+ 10. Utilisant la boucle Répéter jusqu’à.

Exercice 2
Ecrire un algorithme qui affiche la table de multiplication de 8. Utilisant la boucle Répéter jusqu’à. 

hhhhh

Remarques :
==> Les boucles « Répéter » et « «TantQue » sont utilisées lorsqu’on ne sait pas au départ combien de fois il faudra exécuter ces boucles.
==> A la différence de la boucle « TantQue » par rapport  à la boucle « Répéter » cette
dernière  est exécutée  au moins une seule fois.
==> La condition d’arrêt de la boucle « répéter » est la négation de la condition  de poursuite de la boucle «TantQue »
==> On utilise la boucle  « Pour » quand l’on connait  le nombre d’itérations à l’avance.



    ** Chapitre 3: Les  Tableaux **

1) Introduction
Imaginons que dans un algorithme, nous avons besoin d’un grand nombre de variables, il devient difficile de donner un nom pour chaque variable. 
Exemple :
Ecrire un algorithme permettant de saisir  cinq notes et de les afficher après avoir multiplié toutes les notes par trois.

==> La même instruction répète  cinq fois. Imaginons que  si l’on voudrait réaliser cet algorithme avec 100 notes, cela devient très difficile.
==>  Pour résoudre ce problème, il existe un type de données qui permet de définir plusieurs. variables de même type.
 
2) Définition
Un tableau est une suite d’éléments de même type. Il utilise plusieurs cases mémoire à l’aide d’un seul nom. Comme toutes les cases portent le même nom, elles se différencient par un numéro  ou un indice. 
Nous pouvons représenter schématiquement un tableau nommé Note composé de cinq cases, dans la mémoire comme suit :

 


3) Tableau à une dimension
  3-1) Déclaration
La déclaration d’un tableau permet d’associer à n nom d’une zone mémoire composée d’un certain nombre de cases mémoires de même type.  
Syntaxe :        Variable  identificateur : tableau [taille_max] de type …… 

Exemple :        Variable   Note :  Tableau[40] de réels     
Remarques :
==>  Le premier élément d’un tableau porte l’indice 1 ou 0 selon les langages.
==>  La valeur d’un indice doit être un nombre entier.
==> La valeur d’un indice doit  être inférieure ou égale au nombre d’éléments du tableau. Par exemple, avec le tableau tab [20], il est impossible d’écrire tab[21] ou tab[26], ces expressions font référence à des éléments qui n’existe pas.
 ==> L’utilisation de ces éléments  se fait en suite, via le nom du tableau et son indice. Ce dernier peut être soit une valeur (tab[3]  ) , soit une variable ( tab [i] ) ou encore une expression ( tab[i+1] ).
==> Pour Faire un parcours complet sur un tableau, on utilise une boucle.

Exemple 1
Ecrire un algorithme permettant de saisir  20 notes et de les stocker dans un tableau nommé Etudiant, puis les afficher.

 
Exemple 2 :
Ecrire un algorithme permettant de saisir  20 notes et de les afficher après avoir multiplié toutes ces notes par un coefficient fourni par l’utilisateur.

Exercice 1  
Ecrire un algorithme permettant de saisir 20 notes et qui affiche la moyenne de ces notes.

                                                                       

Exercice 2
Ecrire un algorithme permettant de saisir 20 notes et qui affiche le maximum de ces notes. 

 

4) Tableau à deux dimensions
Reprenons l’exemple des notes en considérant  cette fois qu’un étudiant a plusieurs notes (une note pour chaque matière). On peut simplifier des choses comme suite.

  


==> Les tableaux à deux dimensions se représentent comme une matrice ayant un certain nombre de lignes (première dimension) et un certain nombre de colonne (seconde  dimension). 

4-1) Déclaration

   Syntaxe :     Variable  identificateur : tableau [nb_lignes , nb_colonnes] de <type>

Exemple :    Variable Note : Tableau[3,4] de réels 

Remarques:

==> L’utilisation d’une matrice  se fait via son nom  et ses indices. Ces derniers  peuvent  être soient des valeurs (tab[1,3]  ) , soient des  variables   ( tab [i,j] ) ou encore des expressions ( tab[i+1,j] ).

==> Pour Faire un parcours complet sur une matrice, on utilise deux boucles, l’une au sein  de l’autre, c’est ce qu’on appelle  les boucles imbriquées. La première boucle pour  parcourir les lignes tandis que la deuxième est utilisée pour parcourir les éléments de  la ligne précisée par la boucle principale (la première boucle). 

Exemple 1

Ecrire un algorithme permettant de saisir  les  notes  d’une classe de 30 étudiants en 5 matières. 

  

                *** Chapitre 4 : Procédures et les fonctions ***

  1) Introduction
Lorsque l’on  progresse dans la conception d’un algorithme, ce dernier peut prendre une taille et une complexité croissante. De même des séquences d’instructions peuvent se répéter à plusieurs fois.
Lorsque un algorithme dépasse deux page ou plus devient difficile à comprendre et à gérer par  les programmeurs. La  solution consiste alors à découper  l’algorithme en plusieurs parties plus  petites. Ces parties sont appelées des sous-algorithmes.
Le sous-algorithme est écrit séparément du corps de l’algorithme principal et sera appelé par  celui-ci  quand ceci sera nécessaire.

Il existe deux sortes de sous-algorithme : les procédures et les fonctions 
2) Les procédures
Une procédure est une série d’instruction regroupées sous un nom, qui permet d’effectuer des actions par un simple appel de la procédure dans un algorithme ou dans un autres sous algorithme.
Une procédure renvoie plusieurs valeurs (pas une) ou aucune valeur.
2-1) Déclaration d’une procédure   
  Syntaxe :

Après  le nom de la procédure, il faut donner la liste des paramètres (s’il en a) avec leur type respectif. Ces paramètres formels. Leur valeur n’est pas connue lors de la création de la procédure. 

Exemple 1 :

Ecrire une procédure qui affiche à l’écran une ligne de 15 étoiles

Exemple 2 :
Ecrire une procédure qui affiche à l’écran une ligne de N étoiles, où N passé comme paramètre.

2-2) L’appel d’une procédure  
Pour déclencher l’exécution d’une procédure dans un programme, il suffit de l’appeler. L’appel de procédure s’écrit en mettant le nom de la procédure, puis la liste des paramètres. Séparés par des virgules. 
A l’appel d’une procédure, le programme interrompt son déroulement normal, exécute les  instructions de  la procédure, puis retourne au programme appelant et exécute l’instruction suivante.
Syntaxe :     Nom_procédure (…………..)
Les paramètres utilisées lors de l’appel d’une procédure sont appelés paramètres effectifs. Ces paramètres donneront leurs valeurs aux paramètres formels.

Exemple 2 :
Ecrire un algorithme qui permet d’affiche à l’écran une ligne de N étoiles, où N passé comme paramètre dans une procédure.

2-3) Passage de paramètres
Les échanges d’informations entre une procédure  et le sous-algorithme appelant se font par l’intermédiaire de paramètres.

Il existe deux principaux types de passages de paramètres qui permettent des usages différents.

==> Passage  par valeur

Dans  ce type de passage, le paramètre formel reçoit uniquement une copie de la valeur du paramètre effectif. La valeur du paramètre effectif ne sera jamais modifiée.  

Exemple:  

Soit  l’algorithme suivant :

                                                                                                                  

Cet algorithme définit une procédure pour laquelle on utilise le passage de paramètres par valeurs. Lors de l’appel de la procédure, la valeur du paramètre effectif N est recopiée dans le paramètre formel A. la procédure  effectue alors le traitement et affiche la valeur de la variable A dans ce cas 10.

Après l’appel de la procédure, l’algorithme affiche la valeur de la variable N dans ce cas 5. La procédure ne modifie pas le paramètre qui est passé par valeur.

==> Passage  par adresse (ou par référence)

Dans ce type  de passage, la procédure utilise l’adresse du paramètre effectif. Lorsqu'on utilise  l’adresse du paramètre, on accède directement à son contenu. La valeur de la variable effectif  sera donc modifiée.

Les paramètres passés par adresse sont précédés par le mot clé Var.

Exemple: 

Soit  l’algorithme suivant :

  

A l’exécution de la procédure, l’instruction Ecrire (A)  permet d’afficher à l’écran 10. Au retour dans l’algorithme principal, l’instruction Ecrire (N)  affiche   également 10.  

Dans cet algorithme le paramètre passé correspond à la référence (l’adresse) de la variable N. Elle est donc modifiée par l’instruction :   A ← A*2.

Remarque :

Lorsqu'il y a plusieurs paramètres dans la définition d’une procédure, il faut absolument qu’il y en ait le même nombre à l’appel et que l’ordre   soit respecté.

3) Les fonctions 

Les fonctions sont des sous algorithme admettant des paramètres (ou sans paramètres) et retournant une seule valeur de type simple qui peut apparaître dans une expression, dans une comparaison, à la droite d’une affectation, etc.

3-1) Déclaration d’une fonction

Syntaxe : 

La syntaxe de la déclaration d’une fonction est assez proche de celle d’une procédure à laquelle on ajoute un type qui représente le type de la valeur retournée par la fonction et une  instruction Retourner Expression. Cette dernière instruction renvoie au programme appelant le  résultat de  l’expression placée à la suite du mot clé Retourner.   

Remarque :  

Les paramètres sont facultatifs, mais s’il  n’y a pas de paramètres, les parenthèses doivent rester présentes. 

Exemple:

Définir une fonction qui renvoie le plus grand de deux nombres passées par les paramètres.      

                                                                  








3-2) L’appel d’une fonction   
Pour exécuter une fonction, il suffit de faire appel à elle  en écrivant son nom suivi des paramètres effectifs. C’est la même syntaxe qu’une procédure.
A la différence d’une procédure, la fonction retourne une valeur. L’appel d’une fonction pourra  donc être utilisé dans une instruction (affichage, affectation …) qui utilise sa valeur.

Syntaxe :     Nom_fonction (…………..)
Exemple :
 Ecrire un algorithme qui permet d’appeler à la fonction Max de l’exemple précédent :

                                                                                                                                        














Exercice1
Ecrire une fonction puissance qui permet de calculer la puissance d’un nombre réel.

                                                                        

                                                                                                                      

                                                                                                                                                            

                                              

Exercice2
Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur deux entiers, et calcule la somme des nombres entiers compris entre ces deux entiers. Par exemple : si l’utilisateur tape   5 et 17, c’est-à-dire  la somme  est : S= 5+6+7+…+ 17.

 

                                      

                                                                                       
                                                                                                                                     










                                                                                    
 

                                                                                                                                                                                                                                                                 

     

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